☛ Droites parallèles ?

Énoncé
Le plan est rapporté à un repère \(\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).
On considère les points \(\text{A}(-2~;-1), \ \text{B}(4~;1), \ \text{C}(1~;-3)\) et \(\text{D}(10~;0)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\).
2. Calculer le déterminant des vecteurs  \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\).
3. Les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont-elles parallèles ?

Solution

1. \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix}x_\text{B}-x_\text{A}\\y_\text{B}-y_\text{A}\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 4-(-2)\\ 1-(-1) \end{pmatrix}\) d'où \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}\).
  \(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix}x_\text{D}-x_\text{C}\\y_\text{D}-y_\text{C}\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 10-1\\ 0-(-3)\end{pmatrix}\) d'où \(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}\).
2. On a \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} 9\\ 3 \end{pmatrix}\). Donc \(\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=6\times 3-9\times 2=18-18=0\).
3. D'après la question précédente, on a \(\det\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}}\right)=0\).
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont colinéaires.
On en déduit que les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont parallèles.